Exercices limite

Ismailking · **Inscription:** 20 Sep 2008, 11:06 **Messages:** 38 **Localisation:** Paris

Bonjour Monsieur,
Je m'exerce à résoudre des exercices sur les limites et je voudrai savoir si mes réponses sont justes et si la présentation est bonne.

Ex.1 :
Etudier les limites suivantes :

$\lim_{x \to + \infty } \sqrt{x+1} -\sqrt{x-1}$
$\lim_{x \to + \infty } \frac{2x+sinx}{x}$

$\lim_{x \to + \infty } \sqrt{x+1} -\sqrt{x-1} \\ =lim_{x \to + \infty } \sqrt{x+1} - lim_{x\to+\infty} \sqrt{x-1} \\ \left\{ lim_{x \to + \infty } \sqrt{x+1} = + \infty \\ lim_{x\to+\infty} \sqrt{x-1}=+ \infty \right. \\ \Rightarrow \lim_{x \to + \infty } \sqrt{x+1} -\sqrt{x-1} = + \infty$

$\lim_{x \to + \infty } \frac{2x+sinx}{x} \\= \frac{\lim_{x \to + \infty} 2x + \lim_{x \to + \infty }sinx }{\lim_{x\to+\infty} x \\\left\{ \lim_{x \to + \infty} 2x =+ \infty \\ \lim_{x \to + \infty} sinx=+ \infty \\\lim_{x \to + \infty} x=+ \infty \right. \\\Rightarrow \lim_{x \to + \infty } \frac{2x+sinx}{x} = + \infty$

Ex.2 :

Soit g la fonction définie sur R par :

$g(x)= \frac{(x^2-1)(x-2001)}{2001}$
Étudier la limite de g en +l'infini :

\ $lim_{x \to + \infty } \frac{(x^2-1)(x-2001) }{2001} \\ = \frac{\lim_{x \to + \infty }(x^2-1) \times \lim_{x \to + \infty }(x-2001) }{\lim_{x \to + \infty }2001}\\ \left\{ \lim_{x \to + \infty }(x^2-1)=+ \infty \\ \lim_{x \to + \infty }(x-2001) =+ \infty \\\lim_{x \to + \infty }2001 = 2001 \right. \\ \Rightarrow \lim_{x \to + \infty } \frac{(x^2-1)(x-2001) }{2001}=+ \infty$

cyberprof

Pas d'accord, tu aboutis en fait à des indéterminations. Regarde bien ici

Occupons nous seulement de la première (pour lever l'indétermination essaie de multiplier par le conjugué).

Ismailking · **Inscription:** 20 Sep 2008, 11:06 **Messages:** 38 **Localisation:** Paris

Rebonjour,

Pour la limite quand x tend vers + l'infini de rac(x+1)-rac(x-1)
On a lim (pour la suite c'est quand x tend vers + l'infini) de rac(x+1) = + l'infini
Et lim de -rac(x-1) = - l'infini

Par conséquent, on a une Forme indéterminée sous la forme de l'infini - l'infini donc :
lim de rac(x+1)-rac(x-1)
= lim de rac(x)-rac(x) [D'après la propriété où lorsque x tend vers les bornes en + et - l'infini, on prend le terme x de plus haut degré]
= lim de rac(x)(1-1)
= lim de rac(x)(0)
= 0
lim de rac(x+1)-rac(x-1) = 0

lim de (2x+sinx)/x
= lim de 2x = + l'infini
= lim de sinx = + l'infini
= lim de x = + l'infini
lim de 2x+sinx = + l'infini
Donc FI car + l'infini / + l'infini

lim de (2x+sinx)/x
= lim de x(2+sinx*1/x)/x
= lim de 2 + sinx/x

Je bloque là ...

lim quand x tend vers + l'infini de [(x²+1)(x+2001)]/2001
= lim de (x²*x)/2001
soit + l'infini sur un nombre réel L
= + l'infini

cyberprof

Une réponse vidéo (disponible quelques minutes après sa mise en ligne par cyberprof):

Ismailking · **Inscription:** 20 Sep 2008, 11:06 **Messages:** 38 **Localisation:** Paris

Merci pour votre réponse, j'ai bien compris.
Bon courage Monsieur et bonnes vacances !

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